Os pirahãs e a matemática

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É possível viver sem números?

Vamos pensar um pouco agora sobre o que é matemática através de uma tribo indígena do Brasil, composta de pouco mais de trezentos e cinquenta membros: os pirahãs.

A história que vamos contar é bastante conhecida de linguistas de todo o mundo. Em 1977, o então missionário, hoje linguista de fama internacional, Daniel Everett, veio dos Estados Unidos ao Brasil para realizar a tarefa nada original de cristianizar alguns índios. Em suas andanças pela Amazônia, Everett se deparou com uma tribo indígena que vivia às margens do rio Maici. Eles eram conhecidos como pirahãs, um grupo bastante isolado do restante da população local. Everett resolveu se estabelecer, com toda a família, entre eles.

Um pirahã e Everett

Com o tempo e a convivência, Everett foi percebendo uma série de características interessantes da tribo. Eles não possuíam mitos de criação e não se lembravam de ancestrais anteriores a seus avós. Sua língua não contava com palavras para cores e, o que é mais importante, sua gramática contrariava as teorias do linguista e ativista político norte-americano Noam Chomsky, talvez o intelectual mais influente de todo o mundo. Esse é o ponto que torna mundialmente famoso esse pequeno grupo de pessoas: estão no centro de um longo, antigo e furioso debate sobre as origens da linguagem humana.

Mas o que nos interessa aqui, no entanto, é uma outra descoberta fundamental de Everett: os pirahãs não têm palavras para números. Chegam, no máximo, a utilizar uma única palavra, ‘hói’, para indicar ‘pouco’ ou ‘pequeno’. Uma, duas ou três pedras na mão são ‘hói’. Se forem bem pequenas, um punhado de vinte delas também são ‘hói’. Entre eles, a noção de quantidade parece inexistente.

Pirahãs

Pesquisadores e antropólogos de todas as áreas e de todo o mundo têm testado a paciência dos pirahãs com inúmeras pesquisas que comprovam, sem sombra de dúvida, que eles não só não sabem contar, como também não se interessam em aprender. Nem mesmo um, dois, três, como os índios xetás, também da Amazônia. Os pirahãs são considerados o único povo conhecido que não possui aritmética, mínima que seja.

Enquanto isso, livros e mais livros de divulgação científica espalham a ideia de que a noção de contagem é universal, que a noção de número é algo genético. Outros pesquisadores afirmam ainda que a marca distintiva da humanidade é sua capacidade de fazer matemática. E nos perguntamos, assim, o que significa matemática para esses autores…

Como em toda pesquisa antropológica, baseada na observação detalhada e na coleta extensa de dados, há quem discorde das teses de Everett. Até que a situação seja definitivamente esclarecida (se isso existe em antropologia e linguística), ficamos com a sugestão de que, afinal, a matemática não é uma característica comum à espécie humana, mas algo local, temporal, social, como tudo o mais na cultura.

Ou será apenas que precisamos pesquisar um pouco mais?

Project Euler

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O Project Euler é uma série de mais de 370 problemas de matemática criados para serem resolvidos com a ajuda de um computador. Embora todos possam ser resolvidos da maneira tradicional com lápis e papel, o uso de um computador é fortemente recomendado, uma vez que boa parte dos problemas requerem cálculos extensos e repetitivos. Usarei a linguagem Perl para resolver alguns deles.

Problema 1
Encontre a soma de todos os número naturais múltiplos de 3 ou 5 menores do que 1000.

Solução:

#!/usr/bin/perl				# Esse preâmbulo
					# será omitido
use strict;				# nos próximos
use warnings;				# programas.

my $i = 0;				# contador
my $sum = 0;				# resultado

while ($i < 1000) {			# enquanto o contador < 1000
	if (($i%5 == 0) || ($i%3 == 0)){# se múltiplo de 3 ou 5
		$sum += $i;		# adicione-o ao resultado
	}
	$i += 1;			# avança o contador
}
print $sum;				# imprime o resultado

Problema 2
Considerando a sequência de Fibonacci, encontre a soma dos termos de valor par que não excedem 4 milhões.

Solução:

my $a = 0, $b = 1;			# inicia a sequência de Fibonacci
my $sum = 0;				# resultado 

while ($b <= 4_000_000) {		# enquanto sequência <= 4.000.000
	($a, $b) = ($b, $a + $b);	# gere a sequência
	if ($a%2 == 0) {		# e se o número for par
		$sum += $a;		# adicione-o ao resultado
	}
}
print $sum;				# imprima o resultado

Problema 3
Qual o maior fator primo de 600.851.475.143?

Este problema foi resolvido de maneira dramática em nosso post sobre a linguagem de programação J e o Project Euler.

Novos resultados virão no devido tempo. Aguardem!

J e o Project Euler

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O Project Euler é uma série de problemas de matemática criados para serem resolvidos com a ajuda de um computador. Tenho usado a linguagem Perl para resolver alguns deles, mas é notável como a J é dramaticamente concisa em outros.

Eis aqui um problema de fatoração de inteiros resolvido com ela:

Problema 3
Qual o maior fator primo de 600.851.475.143?

Solução:

{:q: 600851475143

Entender a solução é fácil: o comando {: imprime o último componente do vetor gerado pelo comando q:, que gera um vetor com os fatores primos do número, ordenados do menor para o maior.

Você conhece alguma linguagem que faça o mesmo de maneira mais concisa?

O que é POV-Ray

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“My first CGsphere”, de Robert McGregor. (Fonte: http://povray.org)

O Persistence of Vision Ray-Tracer (POV-Ray) é um programa de síntese de imagens tridimensionais fotorrealistas que emprega uma técnica de renderização chamada ray-tracing (lançamento de raios).

Seu funcionamento se baseia no processamento de um arquivo de texto que descreve uma cena tridimensional composta de objetos e luzes, gerando uma imagem do ponto de vista de uma câmera. Em outras palavras, a cena é um programa que, quando executado, resulta em imagens de objetos tridimensionais.

O POV-Ray não é um software de modelação tridimensional como o excelente Blender e outros programas comerciais, mas um ambiente em que o usuário escreve e processa seus programas utilizando uma linguagem própria, semelhante à linguagem C.

O POV-Ray teve origem no DKBtrace, criado por David Kirk Buck em 1986. A partir da versão 2.12 em 1989, o programa foi assumido e reescrito por uma equipe de programadores voluntátios, que o lançaram com o nome POV-Ray. Mais de duas décadas separam as primeiras das atuais versões, indicando o desenvolvimento ininterrupto de um software maduro e estável.

Rodando em Windows, Mac, Linux e outras plataformas, o POV-Ray é gratuito e tem seu código aberto para modificações por parte de qualquer pessoa que conheça a programação em C++. Uma comunidade ativa, organizada em fóruns abertos e facilmente acessiveis, além de uma extensa e detalhada documentação, podem ser encontradas no site oficial.

O que é ray-tracing


“The wet bird”, de Gilles Tran. (Fonte: http://povray.org)

A técnica de ray-tracing se baseia em teorias físicas sobre a luz, seu comportamento e sua percepção pelos olhos, e tem como objetivo a recriação computacional da interação entre esses elementos da maneira mais realista possível.

Imagine uma fonte de luz, como o sol ou uma lâmpada, iluminando um objeto. Quando os olhos recebem e são excitados por parte dos raios de luz refletidos por esse objeto, dizemos que o estamos enxergando. A técnica de ray-tracing inverte esse processo, considerando agora que os olhos lançam raios que incidem sobre a superfície dos objetos de uma cena e são refletidos até a fonte de luz. A cor de cada ponto do objeto é calculada durante o trajeto e uma imagem é criada.

A renderização de uma imagem por ray-tracing é um processo lento, exigindo grande quantidade de memória e poder de processamento do computador. No entanto, as imagens geradas são de altíssima qualidade gráfica, com reflexos, sombras, perspectiva e outros efeitos realistas de grande beleza. Essa técnica está presentes em quase todos os filmes modernos, levando as artes visuais a um patamar de qualidade até hoje não superado por nenhuma outra técnica.

Outros usos


“Christmas Baubles”, de Jaime Vives Piqueres. (Fonte: http://povray.org)

Porque cria imagens com grande precisão e qualidade, o POV-Ray vem sendo empregado, desde suas primeiras versões, na simulação de fenômenos físicos e na visualização de objetos matemáticos. Educadores o utilizam no ensino de física, matemática e outras ciências que necessitam de apoios visuais. A experiência tem mostrado que alunos em geral se mostram excitados e estimulados com as imagens geradas, e se empenham com mais vigor no aprendizado das ideias e conceitos necessários para a criação de novas e mais atraentes cenas. O aspecto artístico dessa atividade é notável, o que possibilita o trabalho conjunto de professores de diversas áreas, preocupados com a integração de conhecimentos hoje excessivamente fragmentados.

A comunidade internacional de educadores que utiliza o POV-Ray nos ensinos fundamental e médio tem seu representante máximo em Friedrich Lohmueller, cujo site é repleto de ideias e cenas prontas para serem utilizadas. Também o projeto Dimensions utiliza o POV-Ray na criação de filmes gratuitos que ilustram diversos conceitos e objetos matemáticos, como multidimensionalidade, números complexos, fractais, ladrilhamento, fibrações e outros. A visita a esses sites vale a pena pela quantidade de material didático e científico disponível de pronto uso em sala de aula.

É de se esperar também que, com o tempo e o aperfeiçoamento tecnológico dos computadores, imagens criadas por ray-tracing sejam geradas em tempo real, possibilitando seu uso, por exemplo, no diagnóstico médico por imagens, aumentando a precisão e confiabilidade dos tratamentos de saúde.

A linguagem de programação J

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Conhece a linguagem de programação J? E o paradigma de programação de vetor?

Faz um ano que descobri a J, uma espantosa linguagem de programação, diferente de tudo o que eu já havia visto. Não chega a ser uma linguagem de programação esotérica, mas eu diria que fica bem próxima disso.

A J é uma linguagem de programação de vetor, um paradigma quase absolutamente desconhecido, pelo menos nos países de língua portuguesa, o que é facilmente perceptível com uma simples busca pela internet. É descendente da famosa e igualmente obscura APL, criadas ambas por Kenneth Iverson (1920-2004), um matemático com ideias originais acerca do que deve ser uma boa notação matemática. Iverson não era qualquer um: foi o ganhador do Prêmio Turing de 1979, o equivalente ao Nobel para a Ciência da Computação. Com uma fama dessas, seria de se esperar que suas contribuições no ramo fossem mais conhecidas, mas a verdade é que, para falar muito sinceramente, nada do que ele fez é de fácil digestão.

Venho tendo momentos realmente difíceis no aprendizado da J, dificuldades inversamente proporcionais à quantidade absurda de documentação disponível, de livros gratuitos, de tutoriais, de facilidades embutidas no próprio interpretador da linguagem, de exemplos extensos e de uma grande rede de usuários. Tudo em inglês, é claro. Existe até uma excelente revista da Associação Britânica de APL, mostrando a todos nós que, sim, tem muita gente interessada nessas coisas pelo mundo, diminuindo a sensação de solidão e de tempo desperdiçado no estudo dessas e de outras nerdices.

A verdade é que fui fisgado pela J depois que conheci o site de Cliff Reiter, que a usa para gerar fractais de uma maneira extremamente simples. Em acréscimo a isso, percebo que as facilidades gráficas da J são realmente impressionantes, tanto na geração de gráficos de funções matemáticas quanto na criação de objetos tridimensionais programados com OpenGL. Só isso bastaria para me fazer estudá-la mais à fundo, mas não é só disso que a J é capaz.

A J tem uma forte vocação para a matemática, embutida em seus gens, como mostramos de maneira dramática aqui. É extensamente utilizada nesse sentido, o do processamento de problemas que exigem longos e complexos cálculos programados penosamente em outras linguagens. Depois que a aprendemos, a ideia de computar muda de sentido. Quase sempre uma única linha de código é suficiente para resolver problemas cabeludos, dadas as inúmeras funções que a linguagem oferece.

O melhor disso tudo? A J é gratuita e, para versões mais recentes, de código aberto. O que você está esperando?

Nossa pobre formação intelectual

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O que faz alguém ser realmente bom no que faz?

Dizem-nos que aprender qualquer coisa requer tempo e dedicação, acompanhados do esforço constante, prolongado e refletido. Sabemos disso na prática, mas ainda assim mantemos a frágil esperança de um dia vir a aprender por osmose, aproveitando a preguiça essencial de nosso ser inculto. Será que não existe um atalho para a excelência? Não seriam os casos raros de gênios um favorecimento desonesto da genética?

O desempenho de alto nível em qualquer atividade só chega após 10.000 horas de prática, em média, como afirmam os especialistas:

Pesquisadores (Bloom (1985), Bryan & Harter (1899), Hayes (1989), Simmon & Chase (1973)) demonstraram que uma pessoa leva cerca de dez anos para se tornarem peritas em qualquer uma de uma grande variedade de áreas, includindo jogar xadrez, composição musical, operação de telégrafo, pintar, tocar piano, nadar, jogar tênis e pesquisar neuropsicologia ou topologia. A chave é a prática constante: não apenas fazer de novo e de novo, mas se desafiar em uma tarefa que está um pouco além da sua capacidade atual, de tentar, analisando o seu desempenho durante e após a prática, e corrigir eventuais erros. Em seguida, repita. E repita novamente. Não parece haver atalhos: até Mozart, que foi um prodígio musical aos 4 anos, levou mais 13 anos antes de começar a produzir música de primeira classe. Em outro gênero, os Beatles parecem ter surgido em cena com uma sequência de top hits e uma aparição no show do Ed Sullivan em 1964. Mas eles vinham tocando em pequenos clubes em Liverpool e Hamburgo desde 1957, e ainda que tivessem apelo das massas desde o começo, o seu primeiro grande sucesso, o Sgt. Peppers, foi lançado em 1967. Malcolm Gladwell relata um estudo feito com alunos da Academia de Música de Berlim, que comparou o terço superior, o médio e o terço inferior da classe, além de ter perguntado o quanto eles haviam praticado:

“Todos, de todos os três grupos, começaram a tocar mais ou menos na mesma época – cerca de cinco anos de idade. Naqueles primeiros anos, todos praticaram aproximadamente a mesma quantidade – cerca de duas ou três horas por semana. Mas em torno da idade de 8 anos, as diferenças começaram a surgir. Os alunos que acabariam como os melhores da classe começaram a praticar mais do que todos os outros: 6 horas por semana aos 9 anos, 8 horas aos 12 anos, 16 horas aos 14 anos, e cada vez mais, até que na idade de 20 eles estavam praticando bem mais do que 30 horas por semana. Com a idade de 20, os artistas elite tinham todos totalizado 10.000 horas de prática ao longo de suas vidas. Os alunos simplesmente bons totalizaram, por outro lado, 8.000 horas, e os futuros professores de música, um pouco mais de 4.000 horas.”

Pode ser então que 10.000 horas, não 10 anos, seja o número mágico. Henri Cartier-Bresson (1908-2004) disse que “Suas primeiras 10.000 fotografias são suas piores”, mas ele tirava mais de uma por hora. Samuel Johnson (1709-1784) pensa que pode levar ainda mais tempo: “Excelência em qualquer departamento só pode ser alcançada com o trabalho de uma vida, e não pode ser comprada por um preço menor.” E Chaucer (1340-1400) reclamou “ó vida tão curta, a arte tão longa para aprender”. Hipócrates (c. 400 a.C.) é conhecido pelo provérbio “ars longa, vita brevis”, que faz parte do trecho mais longo “Ars longa, vita brevis, occasio praeceps, experimentum periculosum, iudicium difficile”, que em português fica mais ou menos “A arte é longa, a vida é breve, a ocasião é fugaz, a experiência é perigosa, o juízo é difícil”. Embora em latim “ars” possa significar tanto “arte” quanto “ofício”, no original grego a palavra “techné” só pode significar “habilidade”, não “arte”.

A citação acima vem de um excelente artigo de Peter Norvig, relacionado à excelência em programação. As referências que ele faz podem ser também lá verificadas.

A quase totalidade de todos os profissionais estuda muito menos do que 10.000 horas para poderem exercer suas profissões, o que nos faz pensar seriamente sobre a pobreza e deficiência de suas formações. Poucos realmente se dedicam para se tornar expoentes em seu campo de atuação. Considerando que um curso superior de 4 anos, em uma universidade federal, exige cerca de 3.000 horas de aulas e práticas, e que quase todos os alunos chegam lá sem saber absolutamente nada do que estudarão, podemos supor que os profissionais com curso superior no Brasil são mal formados, ou precisam de muito mais para se tornar profissionais destacados em seus campos. Mestrados e doutorados não fazem com que o sujeito alcance as 10.000 horas mágicas. Por outro lado, e considerando a Lei de Sturgeon, estamos bem além do necessário. Infelizmente.

O sentido da vida e a limonada suíça

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Não, não é mais uma tentativa de resposta. Ou é, mas com um gosto de limão, sem açúcar.

Costumo pedir uma limonada suíça sem o “suíça” em um quiosque de donuts, depois do almoço, no shopping. A dita consiste em simplesmente bater o limão com água, absolutamente mais nada, e beber o resultado com canudo ou aos goles homeopáticos. A experiência, que não pode ser repetida mais de duas vezes por semana, tem sido realmente desconfortável. Desaconselho, também porque as meninas que o preparam às vezes se esquecem de coar direito, e a coisa desce com raspa de casca e tudo. Não reclamo: apenas temo, horrorizado, ao ver que a degustação será ainda pior. Por que faço isso?

Pensando sobre a questão, assistindo a um trailer genial do novo filme do Homem Aranha, percebi a mentira da alegação de que as coisas vão perdendo o sentido e o impacto emocional à medida que envelhecemos. Empolguei com um trailer de uma história batida, que conheço há décadas, contada do mesmo jeito e refilmada a cada 3 anos ou menos. Também saí realmente desgastado, murcho e abatido da porcaria do filme Premonição 5, um terrorzinho chulé muito bem filmado, com direito a sustos constantes e desesperados. Menos para os adolescentes, que riam e achavam graça, enquanto aprendiam a ser insensíveis e ainda mais irritantes.

Minha vó me ensinou a ver novela, mas ver de verdade, quando eu era jovem. Ela até pulava no sofá de raiva e alegria, alternando as emoções como quem passa marcha em uma estrada desconhecida e esburacada. A coisa era tão intensa que passou para mim, e daqui não descolou, crescendo e apresentando novas faces e caretas à medida que caminho de bermuda e mocassim nesta cidade quente e calorosa. Até os odores sublimes do córrego nojento que margeio na volta para casa andam despertando pensamentos da mais abstrata cepa filosófica. Não seriam, então, as sensações a âncora e o estopim das mais altas reflexões sobre o sentido da vida?

Uma amiga da UFMT, professora de estatística, teve a coragem de dizer – e digo isso porque ninguém mais o faz, por medo ou vergonha – que está buscando um novo sentido para a vida, e o faz em aulas de kendô. Assim como na Igreja Messiânica, a qual frequenta sem adesão irrestrita: até diz que não acredita, mas se esforça, e discursa sobre sua hesitação a partir dos rincões de uma emocionante sinceridade. Daí me lembrei de novo da limonada suíça, ou melhor, do limão batido em água, cascudo, anestesiando a língua, tornando-a inútil pelas próximas 24 horas, mas trazendo à consciência a verdade sobre o viver nas fronteiras da angústia. A Perla, my beloved, cansou de ser acordada à noite com uma nova solução para o problema do ser, do universo e de tudo mais. Naturalmente, ela responde sempre com a atenção devida: Ai, meu Deus do céu!, e volta a dormir, segura e tranquila.

Respostas delirantes estão sempre na ponta da língua de quem não se aprofunda de fato no problema. O dogmatismo é a mais comum, e o suicídio, a mais extrema. Bobeiras e fraquezas, essas não são para mim. Assim como não é, e só agora percebo, planejar e executar algo nas raias da racionalidade, como escrever um livro, compôr música, realizar pesquisas. Nada disso me preenche mais do que o recheio de uma torta de maçã quentinha, cheirosa, docinha, deliciosa. Dizem alguns que existe algo que transcende a mera existência humana, alguma coisa de espiritual, inefável, que realiza o milagre de nos fazer sentir bem colocados no mundo, como se fôssemos atendidos no balcão divino após décadas segurando a senha. Infelizmente, não acredito no futuro, mas apenas no passado, e que foram as sensações que vivenciei que me levaram a produzir o que produzi – e produzo.

Parto do desejo de sentir um barato qualquer com o que faço. Planos e propostas para o próximo milênio desvanecem como fumaça diante da sensação de realização no durante, no enquanto faço. É algo de momento, eu sei, sem compromisso, passageiro, fugaz. Mas deixa rastros que me definem, para minha grande tristeza. Meus sonhos são vastos, numerosos e extensos, e as realizações são poucas, limitadas, tacanhas. Sou menos do que penso ser, mas é nesse caroço que o dente para. A mordida vai cheia de esperança e acaba abrupta, dolorida às vezes, mas real e persistente. O que me sobra? Perseguir a obsessão do dia, porque fanática e irracional, porém sempre verdadeira. A sensação de uma estaca no coração, girando a roda da vida e o motor do intelecto.

* * *

P.S.: A Perla disse que vai sair por aí com uma camisa Eu amo macadâmia, e morreu de rir. Ninguém entendeu. Nem você, ínclito leitor!